Définition et propriétés

p est la variable complexe $p=\sigma+j\omega$ , sa dimension est celle d'une fréquence ($s^{-1}).$

La transformée de Laplace d'une fonction continue par morceaux pour $t\geq0$ est définie par l'intégrale $F(p)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}dt$ soit $F(p)=\mathrm{\mathrm{\mathit{\mathcal{L\left[\mathrm{f(t)}\right]}}}}$. $F(p)$ est l'image ou transformée et $f(t)$ est l'original.

Propriété	Original	Image
Linéarité	$af(t)+bg(t)$	$aF(p)+bG(p)$
Changement d'échelle	$f($$\frac{t}{a})$	$\left\vert a\right\vert F(ap)$
Translation temporelle (retard)	$f(t-T)$	$e^{-pT}F(p)$
Translation fréquentielle	$e^{at}$	$F(p-a)$
Valeur finale	$lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=lim_{p\rightarrow0}pF(p)$
Valeur initiale	$f(0_{+})=lim_{p\rightarrow\infty}pF(p)$
Dérivation	$\frac{df(t)}{dt}$	$pF(p)-f(0_{+})$
Intégration	$g(t)=\int_{0}^{t}f(u)du+g_{0}$	$G(p)=\frac{F(p)+g_{0}}{p}$
Multiplication par t	$tf(t)$	$-\frac{dF(p)}{dp}$
Périodicité	motif f(t) répété avec la période T	$\frac{F(p)}{1-e^{-Tp}}$

L'intérêt essentiel de la transformation de Laplace vient de la propriété de dérivation qui permet de remplacer une équation différentielle d'ordre n par une équation algébrique de degré n.

Dans les asservissements on utilise aussi le théorème de la valeur finale qui permet de trouver sans grands calculs la valeur atteinte par une variable en régime permanent.