Représentation par vecteur d'état.

L'équation différentielle décrivant le système peut-être mise sous forme d'un système de $m$ équations du premier ordre explicite:

$\frac{d\overrightarrow{y}}{dt}=\left[A\right]\overrightarrow{y}+\left[B\right]\overrightarrow{x}$ Le vecteur $\overrightarrow{y}$ représente l'état du système (par exemple la position et la vitesse du système) et le vecteur $\overrightarrow{x}$ représente l'entrée du système.

$\overrightarrow{y}=e^{\left[A\right]t}\overrightarrow{y_{0}}+\int_{0}^{t}e^{\left[A\right](t-\tau)}\left[B\right]x(t)dt$ est la solution générale de cette équation.

L'équation d'état est liée à la fonction de transfert. En effet une équation différentielle d'ordre n est équivalente à un système de n équations différentielles du premier ordre. Donc un système d'ordre n sera représenté par un vecteur d'état de dimension n.

Exemple: prenons le cas d'une masse M soumise à une force f(t).

L'équation différentielle est $f=M\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$ . Elle peut s'écrire comme le système:

$$\left\{ \begin{array}{c} \frac{dx_{1}}{dt}=v\\ \frac{dx_{2}}{dt}=\frac{f}{M}\end{array}\right.$$

On a pris comme variables d'état la position $x_{1}=y$ et la vitesse $x_{2}=v$ de la masse.

Le système peut s'écrire sous forme matricielle:

$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\end{array}... ...ght)+\left(\begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{M}\end{array}\right)f$$

donc ici $\left(A\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right)$ et $\left(B\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{M}\end{array}\right)$