Systèmes d'ordre n:

Equation différentielle. Fonction de transfert. Equation caractéristique. Pôles. Zéros.

$\sum_{0}^{n}b_{i}\frac{d^{i}y(t)}{dt^{i}}=\sum_{0}^{m}a_{j}\frac{d^{j}x(t)}{dt^{j}}$

n est l'ordre de l'équation (et du système). Pour un système causal $m\leq n$.

$F(p)=\frac{Y(p)}{X(p)}=\frac{\sum a_{j}p^{j}}{\sum b_{i}p^{j}}=\frac{\prod(p-z_{j})}{\prod(p-p_{i})}$ est la fonction de transfert (avec conditions initiales nulles). Les $z_{j}$ sont les zéros de la fonction de transfert et les $p_{i}$ sont les pôles.

$\sum b_{i}r^{i}=0$ est l'équation caractéristique du système.

Exemple:

oscillateur constitué par un ressort de raideur K, une masse M et un coefficient de frottement B. Soit $y(t)$ l'élongation du ressort par rapport à sa position de repos et $x(t)=f(t)$ la force extérieure appliquée à la masse. L'équation de la dynamique s'écrit: $x(t)=Ky(t)+B\frac{dy(t)}{dt}+M\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}$ , soit avec la transformation de Laplace: $X(p)=KY(p)+BpY(p)+Mp^{2}Y(p)$

La fonction de transfert est:

$F(p)=\frac{Y(p)}{X(p)}=\frac{1}{K+Bp+Mp^{2}}$

L'équation caractéristique est:

$K+Br+Mr^{2}=0$